Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Признак делимости на 11. Число делится на 11, если разность между суммой цифр на нечётных позициях и суммой цифр на чётных позициях (считая с любого конца) делится на 11 (в том числе равна 0).

а) Проверим число 1243: суммы по позициям — $1+4=5$ и $2+3=5$, разность $0$, значит 1243 делится на 11. Оно получено перестановкой цифр числа 1234, поэтому 1234 — хорошее.

б) Сумма всех цифр числа 12345 равна $1+2+3+4+5=15$. Если $a$ — сумма на нечётных местах, $b$ — на чётных, то $a+b=15$ — нечётное число, значит и $a-b$ нечётно, то есть не может быть равно 0. Оценим модуль разности: максимум это $(5+4+3)-(2+1)=9$, что меньше 11. Значит $a-b$ не делится на 11 ни при какой перестановке — число не может стать делимым на 11. Значит 12345 — не хорошее.

в) Возьмём все пять нечётных цифр 1,3,5,7,9, сумма $1+3+5+7+9=25$ — нечётна, поэтому $a-b$ (где $a+b=25$) тоже нечётно, то есть не равно 0. При этом $4\le a,b\le21$, значит $|a-b|\le21-4=17$, и единственный кратный 11 вариант — $|a-b|=11$. Тогда одно из чисел равно $7$, другое $18$. Но 7 не представимо ни суммой двух, ни суммой трёх нечётных цифр из набора {1,3,5,7,9} — противоречие. Значит из всех пяти цифр хорошее число составить нельзя, надо брать не более 4 цифр.

Чтобы число было максимальным, берём 4 наибольшие цифры 9,7,5,3 и ищем наибольшую перестановку, делящуюся на 11. Проверяем 9753: перестановка 9735 даёт $a=9+3=12$, $b=7+5=12$, разность $0$ — делится на 11. Значит 9753 — хорошее число, и это наибольшее возможное.