Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Достаточно подобрать пример. Числа 2006 и 8 имеют одинаковую сумму цифр $2+0+0+6=8$, при этом $2006+8=2014$ и числа различны. Значит, представление возможно.

б) Пусть 199 удалось представить как сумму двух чисел с одинаковой суммой цифр. Пусть у первого числа $a$ сотен, $b$ десятков, $c$ единиц. Тогда второе число (то, что дополняет до 199) имеет $(1-a)$ сотен, $(9-b)$ десятков, $(9-c)$ единиц — это следует из поразрядного вычитания 199 minus первое число, без переносов, так как цифры второго числа получаются как $9-b$, $9-c$ (а сотни как $1-a$). Сумма цифр первого числа $S_1=a+b+c$, второго $S_2=19-a-b-c=19-S_1$. Если $S_1=S_2$, то $2S_1=19$ — нечётное число, что невозможно для целого $S_1$. Значит равенство сумм цифр недостижимо, представление невозможно.

в) Нужно найти наименьшее число, разложимое в сумму пяти различных чисел с одной и той же суммой цифр $a$. Для каждого $a$ ищем пять наименьших натуральных чисел с суммой цифр $a$ и складываем их:

• $a=1$: $1+10+100+1000+10000=11111$
• $a=2$: $2+11+20+101+110=244$
• $a=3$: $3+12+21+30+102=168$
• $a=4$: $4+13+22+31+40=110$

Для $a\ge5$ оценим снизу: наименьшее число с суммой цифр $a$ не меньше $a$, а числа с одинаковой суммой цифр отличаются друг от друга минимум на 9 (так как дают одинаковый остаток по модулю 9). Значит сумма пяти таких чисел не меньше $$a+(a+9)+(a+18)+(a+27)+(a+36)=5a+90\ge5\cdot5+90=115>110.$$ Поэтому минимум достигается при $a=4$ и равен $110$.