Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно найти число $n$, для которого $n=15\cdot S(n)$, где $S(n)$ — сумма цифр. Проверим $n=135$: $S(135)=1+3+5=9$, а $15\cdot 9=135$. Совпадает, значит подходит.

б) Аналогично ищем $n=21\cdot S(n)$. Возьмём $n=378$: $S(378)=3+7+8=18$, и $21\cdot 18=378$ — верно, такое число существует.

в) Условие: $n=15873\cdot S(n)$. Разложим $15873=3\cdot11\cdot13\cdot37$. Так как $n$ делится на 3, по признаку делимости на 3 сумма его цифр $S(n)$ тоже делится на 3. Тогда $n=15873\cdot S(n)$ делится на $3\cdot3=9$, а значит и $S(n)$ делится на 9 (по признаку делимости на 9). Запишем $S(n)=9x$, $x\in\mathbb{N}$.

Подставляя $x=1,2,3,\dots$, вычисляем $n=15873\cdot9x$ и сравниваем сумму его цифр с $9x$:

• $x=1$: $n=142857$, $S(n)=27\neq9$;
• $x=2$: $n=285714$, $S(n)=27\neq18$;
• $x=3$: $n=428571$, $S(n)=4+2+8+5+7+1=27=9\cdot3$ — совпадает! Значит $n=428571$ — решение.
• $x=4,5,6,7$: суммы цифр не совпадают с $9x$.
• $x=8$: $n=1142856$ — семизначное число, но максимальная сумма его цифр $9\cdot7=63<72=9x$, то есть $n>15873\cdot S(n)$, равенство невозможно.

При увеличении $x$ на 1 требуемая сумма цифр растёт на 9, а само число $n$ растёт на $15873\cdot9=142857$, что добавляет хотя бы один новый разряд. Поскольку максимально возможная сумма цифр растёт медленнее, чем требуется, неравенство $n>15873\cdot S(n)$ сохраняется для всех $x\ge8$. Значит, дальше решений быть не может.

Итог: единственное число — $428571$.