Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно подобрать число, где произведение цифр в 10 раз больше суммы. Возьмём цифры 2, 5, 2, 9: сумма $2+5+2+9=18$, произведение $2\cdot5\cdot2\cdot9=180=10\cdot18$ — подходит, число 2529.

б) Пусть цифры числа $a,b,c,d$, все они не нули (иначе произведение равно 0). Условие: $abcd=175(a+b+c+d)$. Так как $175=25\cdot7$, правая часть делится на 25, значит среди цифр обязательно есть две пятёрки (только $5\cdot5=25$ даёт нужный множитель среди цифр 1–9). Пусть $c=d=5$. Тогда $$25ab=175(a+b+10)\ \Rightarrow\ ab=7(a+b+10).$$ Оценим правую часть: так как $a,b\ge1$, то $a+b+10\ge12$, значит $ab\ge7\cdot12=84$. Но $ab\le9\cdot9=81<84$ — противоречие. Значит такого числа нет.

в) Аналогично, из $abcd=50(a+b+c+d)$ и делимости на 25 получаем две пятёрки, пусть $c=d=5$: $$25ab=50(a+b+10)\ \Rightarrow\ ab=2(a+b+10).$$ Правая часть чётная, значит $a$ или $b$ чётно; пусть $b$ чётно.

• $b=2$: $2a=a+12\Rightarrow a=12$ — не подходит.
• $b=4$: $4a=a+14\Rightarrow a=14/3$ — не целое.
• $b=6$: $6a=a+16\Rightarrow a=16/5$... пересчитаем аккуратно: $ab=2(a+b+10)$, при $b=6$: $6a=2a+32\Rightarrow4a=32\Rightarrow a=8$. Подходит: цифры 8,6,5,5.
• $b=8$: $8a=2a+36\Rightarrow6a=36\Rightarrow a=6$ — та же комбинация цифр (перестановка предыдущей).

Таким образом единственный набор цифр — $\{8,6,5,5\}$, число 8655. Все перестановки этих цифр (их $\dfrac{4!}{2!}=12$) также удовлетворяют условию.