Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно подобрать трёхзначное число без нулей, где $n=$ числитель, а произведение цифр — знаменатель дроби $\frac{119}{24}$ (возможно, после сокращения). Возьмём $n=238$: произведение цифр $2\cdot3\cdot8=48$. Тогда $\dfrac{238}{48}=\dfrac{119}{24}$ (сократили на 2). Условие выполнено.

б) Если $\dfrac{n}{p(n)}=\dfrac{125}{24}$, где $p(n)$ — произведение цифр, то после приведения к общему знаменателю $24n=125\,p(n)$. Поскольку $\gcd(24,125)=1$, число $n$ обязано делиться на 125. Среди трёхзначных чисел, кратных 125 и не содержащих нулей, остаются 125, 375, 625, 875 (числа 250, 500, 750 отбрасываем из-за нулей). Проверим произведения цифр: $1\cdot2\cdot5=10$, $3\cdot7\cdot5=105$, $6\cdot2\cdot5=60$, $8\cdot7\cdot5=280$ — ни одно не делится на 24, значит после сокращения знаменатель 24 получить нельзя. Такого $n$ не существует.

в) Чтобы дробь $\dfrac{n}{p(n)}$ несократимой равнялась $\dfrac{k}{24}$, нужно, чтобы $p(n)$ делилось на 24 без общих множителей с $n$ сверх этого — проще всего искать случай, когда дробь несократима сразу, то есть $p(n)=24$, а $n$ не делится ни на 2, ни на 3 (иначе появится общий множитель). Цифры не могут включать 9 и 7 (иначе произведение с ними даёт лишний множитель 3 или 7, не дающий 24). Если есть 8, оставшиеся цифры должны дать произведение 3, то есть 3 и 1 — но тогда число делится на 3. Если максимальная цифра 6, варианты дополнения: 2 и 2 (число чётное — отброшено) или 4 и 1 (произведение $6\cdot4\cdot1=24$, цифры нечётные и не делятся на 3). Наибольшее такое число — 641, поэтому $f(641)=\dfrac{641}{24}$. Если дробь сократима, то после сокращения числитель не превышает $\dfrac{999}{2}<641$, то есть такие варианты дают меньшее значение. Значит максимум — $\dfrac{641}{24}$.