Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём число 339. Произведение его цифр $3\cdot3\cdot9=81$. Тогда $\dfrac{339}{81}=\dfrac{3\cdot113}{3\cdot27}=\dfrac{113}{27}$ — подходит.

б) Пусть $\dfrac{N}{P(N)}=\dfrac{125}{27}$, где дробь несократима. Значит $27N=125P(N)$, а так как $\gcd(125,27)=1$, то $N$ должно делиться на $25$ (множитель $5^2$ из $125$ не может «уйти» в $27$). Трёхзначное число без нулей, делящееся на $25$, может заканчиваться только на $25$ или $75$ (варианты $00,50$ содержат ноль). В обоих случаях последние две цифры — $2,5$ или $7,5$, ни одна из них не делится на $3$. Чтобы $P(N)$ делилось на $27=3^3$, весь недостающий множитель $3^3$ должен дать первая цифра, а она не превышает $9=3^2$ — этого мало. Значит равенство невозможно.

в) Нужно найти максимум $N/P(N)$ при условии, что несократимая дробь имеет знаменатель $27$.

Случай 1: $P(N)>27$. Тогда, чтобы дробь сократилась до знаменателя $27$, число $N$ и $P(N)$ имеют общий делитель больше $1$, а значит $P(N)\ge 54$ (следующее кратное $27$). Поскольку $N\le999$, получаем $\dfrac{N}{P(N)}\le\dfrac{999}{54}=\dfrac{500}{27}$ — оценка меньше, чем в следующем случае.

Случай 2: $P(N)=27$. Тогда дробь уже несократима сама по себе, и нужно взять наибольшее $N$ с произведением цифр $27=3^3$. Цифры могут быть только $1,3,9$ (их степени тройки), и, чтобы число было максимальным, старшие разряды делаем как можно больше: $9,3,1\to N=931$, действительно $9\cdot3\cdot1=27$.

Так как $\dfrac{931}{27}\approx34,5>\dfrac{500}{27}$, максимум достигается во втором случае: $\dfrac{931}{27}$.