Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Важный факт: по признаку делимости на 3, число $A$ и сумма его цифр $S$ дают одинаковый остаток при делении на 3, то есть $A\equiv S\pmod 3$.

а) Возьмём $A=221$. Тогда $S=2+2+1=5$, и $A\cdot S=221\cdot5=1105$. Равенство выполняется — ответ «да».

б) Пусть $r$ — общий остаток $A$ и $S$ при делении на 3. Тогда $A\cdot S\equiv r^2\pmod 3$. При $r=0$ получаем $0$, при $r=1$ или $r=2$ получаем $1$ ($4\equiv1$). Значит $A\cdot S$ может давать только остаток $0$ или $1$ при делении на 3. Проверим 1106: $1+1+0+6=8\equiv2\pmod3$. Такой остаток невозможен, значит равенство $A\cdot S=1106$ не может выполняться — ответ «нет».

в) Ищем наименьшее $A\cdot S>1503$, проверяя числа по порядку.

$1504$: $1+5+0+4=10\equiv1\pmod3$ — остаток допустим. Разложим $1504=2^5\cdot47$. Так как $S\le27$ (максимальная сумма цифр трёхзначного числа), подходящие делители $S\in\{1,2,4,8,16\}$ дают $A\in\{1504,752,376,188,94\}$. Ни для одного из них сумма цифр не равна соответствующему $S$ (например, для $A=188$: $1+8+8=17\ne8$). Число $A=94$ не трёхзначное. Значит 1504 не подходит.

$1505$: $1+5+0+5=11\equiv2\pmod3$ — недопустимый остаток, сразу отбрасываем.

$1506$: $1+5+0+6=12\equiv0\pmod3$. Если общий остаток $r=0$, то оба числа $A$ и $S$ делятся на 3, а значит их произведение обязано делиться на 9. Но $1506:9=167{,}33\ldots$ — не целое, противоречие. 1506 невозможно.

$1507$: $1+5+0+7=13\equiv1\pmod3$ — допустимо. Разложим $1507=11\cdot137$. Возьмём $S=11$, $A=137$: сумма цифр $137$ равна $1+3+7=11=S$ — совпадает! Значит $A=137,\ S=11$ дают $A\cdot S=1507$.

Таким образом наименьшее возможное значение — $1507$.