Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Подбираем числа: пусть $a=9,b=3,c=6,d=2,e=5,f=4$. Тогда $\frac{9}{3}+\frac{6}{2}+\frac{5}{4}=3+3+\frac{5}{4}=\frac{29}{4}$. Равенство выполняется, значит ответ — да.

б) Дробь $\frac{451}{90}$ несократима (451 и 90 взаимно просты) и больше 5. Значит НОК знаменателей $b,d,f$ должно делиться на 90=2·3²·5. Перебирая тройки из {2,3,4,5,6,9}, дающие НОК, кратный 90, получаем только варианты: {2,5,9}, {3,5,6}, {4,5,9}, {5,6,9}. Для каждого варианта оценим сумму сверху, взяв наибольшие возможные числители при данных знаменателях:

• {2,5,9}: максимум $\frac{6}{2}+\frac{6}{5}+\frac{6}{9}=\frac{73}{15}<5$;
• {3,5,6}: максимум $\frac{9}{3}+\frac{4}{5}+\frac{4}{6}<5$;
• {4,5,9}: максимум $\frac{6}{4}+\frac{6}{5}+\frac{6}{9}<5$;
• {5,6,9}: максимум $\frac{4}{5}+\frac{4}{6}+\frac{4}{9}<5$.

Во всех случаях сумма меньше 5, а $\frac{451}{90}>5$. Противоречие — равенство невозможно.

в) Чтобы сумма была минимальной, большие числа должны стоять в знаменателях, а маленькие — в числителях. Показывается, что оптимально брать знаменателями именно 5,6,9 (иначе, поменяв местами число из {5,6,9}, попавшее в числитель, с числом из {2,3,4} в знаменателе, сумму можно уменьшить). Далее для чисел $k<m$, $l<n$ верно $\frac{k}{l}+\frac{m}{n} < \frac{m}{l}+\frac{k}{n}$ (это следует из $(m-k)(\frac1l-\frac1n)>0$), поэтому меньший числитель должен идти с меньшим знаменателем. Значит, при знаменателях 5,6,9 числители надо расставить по возрастанию: 2→5, 3→6, 4→9. Получаем $\frac{2}{5}+\frac{3}{6}+\frac{4}{9}=\frac{36}{90}+\frac{45}{90}+\frac{40}{90}=\frac{121}{90}$ — это и есть наименьшее значение суммы.