Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Сумма цифр трёхзначного числа не превышает $S\le 9+9+9=27$, а само число $A\le 999$. Значит $A\cdot S\le 999\cdot27=26973<28000$, то есть равенство невозможно.

б) Так как $A\equiv S\pmod 3$ (число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 3), проверим делители 2971. Перебором простых чисел до 27 (2,3,5,7,11,13,17,19,23) видно, что 2971 ни на одно из них не делится, значит его делители — только 1 и 2971. Если $S=1$, то $A=2971$ — четырёхзначное число, что невозможно. Значит равенство не выполняется.

в) Проверим, что $A\cdot S=428\cdot(4+2+8)=428\cdot14=5992$ достигается. Покажем, что больше 5992 (но меньше 5997) получить нельзя. Так как $A\equiv S\pmod3$, произведение $A\cdot S$ может давать остаток 0 (тогда делится на 9) или 1 при делении на 3, но не 2. Числа $5993$ и $5996$ дают остаток 2 — не подходят. Число $5995=5\cdot11\cdot109$ имеет трёхзначные делители только 109 и 545; их суммы цифр (10 и 14) не совпадают с требуемыми $S$ — не подходит. Число $5994=2\cdot3^4\cdot37$ делится на 9, значит $A$ должно быть кратно 37 (так как $S\le27<37$), а из $S\le27$ следует $A\ge5994/27=222$. Подходящие кратные 37 в диапазоне — 222, 333, 666, 999; проверка их сумм цифр (6, 9, 18, 27) показывает несоответствие требуемым $S$. Значит все числа от 5993 до 5996 не реализуются, и наибольшее возможное значение — $5992$.