Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Переформулировка условия. Для средних цифр $a_i$ (не первой и не последней) дано $a_i<\dfrac{a_{i-1}+a_{i+1}}{2}$, то есть $2a_i<a_{i-1}+a_{i+1}$. Перепишем это как $a_{i-1}-a_i>a_i-a_{i+1}$. Если обозначить разности соседних цифр $d_i=a_i-a_{i+1}$, условие означает, что последовательность $d_1,d_2,\dots,d_{n-1}$ строго убывает (целые числа).

а) 5115. Разности: $d_1=5-1=4,\ d_2=1-1=0,\ d_3=1-5=-4$ — строго убывают, условие выполнено.

б) 931139. Разности: $9-3=6,\ 3-1=2,\ 1-1=0,\ 1-3=-2,\ 3-9=-6$ — строго убывают.

в) Поиск наибольшего числа. Сумма всех разностей равна $a_1-a_n$, а цифры лежат в $[0,9]$, значит $|a_1-a_n|\le 9$. Последовательность $d_i$ строго убывает, поэтому если среди неё $k$ положительных членов, то они не меньше $k,k-1,\dots,1$ (в порядке убывания), и их сумма не меньше $1+2+\dots+k=\dfrac{k(k+1)}{2}$. При $k=4$ эта сумма $\ge 10>9$ — невозможно, значит положительных разностей не больше $3$. Симметрично отрицательных не больше $3$. Ещё может быть один нуль. Итого не более $3+3+1=7$ разностей, значит число содержит не более $8$ цифр.

Построение максимального 8-значного числа. Чтобы число было наибольшим, берём разности максимально возможные и строго убывающие: $3,2,1,0,-1,-2,-3$ (их сумма $0$, значит $a_1=a_8$, что позволяет взять $a_1=9$ — максимум). Восстанавливаем цифры: $a_1=9,\ a_2=9-3=6,\ a_3=6-2=4,\ a_4=4-1=3,\ a_5=3-0=3,\ a_6=3+1=4,\ a_7=4+2=6,\ a_8=6+3=9$. Получаем число $96433469$ — оно удовлетворяет условию и является наибольшим возможным.