Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём число 6222: три цифры «2» дают сумму $2+2+2=6$ — четвёртая цифра. Число 6219: $6+2+1=9$ — тоже совпадает с четвёртой цифрой. Оба числа интересные, а $6222-6219=3$.

б) Если одна из цифр числа равна сумме трёх остальных, то сумма всех цифр равна $2k$ — то есть чётна. Это верно для обоих чисел. Теперь посмотрим, что происходит при вычитании 111. Поскольку ни одна цифра не равна нулю, вычитание 111 требует заимствования, и в итоге три последних разряда (единицы, десятки, сотни) уменьшаются ровно на 1 каждый, а первая цифра не меняется. Значит, сумма цифр уменьшается на $1+1+1=3$ — нечётное число. Но разность двух чётных чисел обязана быть чётной. Противоречие, значит таких чисел не существует.

в) Для 2, 3, 5, 7 легко подобрать интересные числа-примеры: 2114 делится на 2 и 7, 9135 делится на 3 и 5. Для 11 распишем число $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=11(91a+9b+c)+(b-a+d-c)$. Значит $b-a+d-c$ делится на 11, то есть либо $b+d=a+c$, либо эти суммы отличаются на 11. Пусть $k$ — цифра, равная сумме трёх других, $l$ — её «партнёр» в паре $(a,c)$ или $(b,d)$, а $m,n$ — оставшиеся цифры. Тогда $k=l+m+n$, откуда $k+l>m+n$, значит $k+l=m+n+11$. Подставив $k=l+m+n$, получаем $2l=11$ — не целое число, противоречие. Значит интересных чисел, кратных 11, нет, и 11 — наименьшее такое простое число.