Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём числа от 5014 до 5033 — это 20 подряд идущих четырёхзначных чисел. Среди них есть 5014 (5+0=1+4=5), 5023 (5+0=2+3=5) и 5032 (5+0=3+2=5) — все три «очень счастливые», значит такой набор существует.

б) Пусть меньшее число $\overline{abcd}$, большее $\overline{klmn}$, разность равна 2016. Прибавление 2016 к четырёхзначному числу увеличивает последние две цифры на 16 (возможен переход через сотню) и первые две — на 20 или 21 (в зависимости от переноса). Записав это как равенства и выразив $(k+l)-(a+b)$ и $(m+n)-(c+d)$ через остатки при делении на 9, получаем: первая разность даёт остаток 2 или 3, вторая — остаток 6 или 7. Но по условию счастливости $a+b=c+d$ и $k+l=m+n$, поэтому эти две разности должны быть равны — а остатки от деления на 9 не совпадают ни в одном сочетании. Противоречие, значит разность 2016 невозможна.

в) Для 2,3,5,7 примеры: $2680$ (кратно 2 и 5), $1890$ (кратно 3 и 7). Для 11: запишем $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d=11(91a+9b+c)+(b-a+d-c)$. Так как всё число делится на 11, то и $b-a+d-c$ должно делиться на 11, а из-за диапазона цифр это возможно только при $b-a+d-c=0,\pm11$. При этом должно выполняться $a+b=c+d$ (условие счастливости). Подставив, во всех трёх случаях получаем $2(b-c)=0$ или $2(b-c)=\pm11$ — второе невозможно (11 нечётно), а первое даёт $b=c$, что противоречит различию цифр. Значит, счастливых чисел, кратных 11, нет, и это наименьшее такое простое число.