Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Обозначим числа $a$ (первое), $b=S(a)$ (сумма цифр первого) и $c=S(b)$ (сумма цифр второго), где $S(n)$ — сумма цифр числа $n$.

а) Нужно подобрать пример. Возьмём $a=398$: $S(398)=3+9+8=20=b$, $S(20)=2=c$. Тогда $a+b+c=398+20+2=420$. Числа $398,20,2$ различны — условие выполнено, значит сумма 420 возможна.

б) Используем известное свойство: любое натуральное число даёт тот же остаток при делении на $3$ (и на $9$), что и сумма его цифр, то есть $n\equiv S(n)\pmod 3$. Отсюда $a\equiv b\equiv c\pmod 3$, значит все три числа имеют одинаковый остаток от деления на 3, а их сумма $a+b+c\equiv 3a\equiv 0\pmod 3$. Число $419$ не делится на $3$ ($4+1+9=14$, не кратно 3), поэтому такая сумма невозможна.

в) Пусть $a$ — трёхзначное число ($100\le a\le999$), $b=S(a)$, $c=S(b)$, и нужно $c=5$. Так как $a$ трёхзначное, $b=S(a)\le 9+9+9=27$. Чтобы $S(b)=5$, при $b\le27$ подходят $b=5,14,23$ (это все числа до 27 с суммой цифр 5). Но если $b=5$, то $S(5)=5$, то есть $b=c=5$ — числа совпадают, что запрещено условием различности. Значит $b$ может быть только $14$ или $23$.

Поскольку $10\equiv1\pmod9$, для любого числа $n\equiv S(n)\pmod9$. Значения $b=14$ и $b=23$ дают одинаковый остаток $14\equiv23\equiv5\pmod9$. Следовательно $a\equiv5\pmod9$.

Посчитаем все трёхзначные числа с таким остатком: они образуют арифметическую прогрессию $9k+5$, начиная с $104=9\cdot11+5$ и заканчивая $995=9\cdot110+5$. Количество членов: $110-11+1=100$.

Однако среди этих 100 чисел есть такие, у которых сумма цифр равна ровно $5$ (а не $14$ или $23$) — их нужно исключить, так как для них $b=5$ запрещено. Перечислим наборы цифр с суммой 5 для трёхзначных чисел:

• $\{5,0,0\}$ — 1 число;
• $\{4,1,0\}$ — 4 числа;
• $\{3,2,0\}$ — 4 числа;
• $\{3,1,1\}$ — 3 числа;
• $\{2,2,1\}$ — 3 числа.

Итого исключаем $1+4+4+3+3=15$ чисел.

Ответ: $100-15=85$.