Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Достаточно подобрать пример: $63745 = 55 \cdot 1159$. Значит такое число есть.

б) Пусть искомое число имеет вид $\overline{abcde}$, где $a,b,c,d,e$ — цифры 3,4,5,6,7 в каком-то порядке. Так как $505=101\cdot5$, число должно делиться и на 5, и на 101. Делимость на 5 даёт $e=5$. Запишем число как $101\cdot\overline{abc} - (\overline{abc}-\overline{d5})$. Чтобы вся сумма делилась на 101, разность $\overline{abc}-\overline{d5}$ тоже должна делиться на 101, то есть $\overline{abc}-\overline{d5}=101k$ для некоторого $k\le 9$. Цифра $c$ может быть 3,4,6 или 7, что фиксирует $k=8,9,1,2$ соответственно. При $k\ge8$ получаем $a\ge8$, а при $k\le2$ — $a\le2$, что невозможно, так как $a\in\{3,4,5,6,7\}$. Противоречие — таких чисел нет.

в) Представим число через разряды: $\overline{abcde}=(a-b+c-d+e)+11(909a+91b+9c+d)$. Значит делимость на 11 равносильна делимости на 11 выражения $a-b+c-d+e$. Сумма всех цифр $a+b+c+d+e=25$, поэтому $a-b+c-d+e=25-2(b+d)$. Значение $b+d$ лежит между 7 и 13, и единственный вариант, при котором $25-2(b+d)$ делится на 11, — это $b+d=7$, то есть $\{b,d\}=\{3,4\}$. Чтобы число было максимальным, ставим на первые места оставшиеся большие цифры по убыванию: $a=7$, затем $c=6$, потом $b,d$ (из 3,4) выбираем так, чтобы число было больше — $b=4,d=3$, и $e=5$. Получаем 74635.