Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общая идея. Число делится на 15 тогда и только тогда, когда оно делится и на 5, и на 3. Признак делимости на 5: последняя цифра 0 или 5. Так как число — палиндром, первая цифра совпадает с последней, а первая цифра не может быть 0 (иначе число не натуральное нужной длины). Значит первая и последняя цифры равны 5.

а) Возьмём палиндром $5115$. Первая и последняя цифра $5$ — делится на 5. Сумма цифр $5+1+1+5=12$ делится на 3. Значит $5115$ делится на 15, действительно $5115=15\cdot341$.

б) Пятизначный палиндром имеет вид $\overline{a\,b\,c\,b\,a}$, где по условию $a=5$ (первая=последняя цифра, обе равны 5). Обозначим оставшиеся неизвестные цифры $x,y$: число выглядит как $\overline{5\,x\,y\,x\,5}$. Признак делимости на 3: сумма цифр $10+2x+y$ должна делиться на 3.

Проверяем все $x=0,\dots,9$:

• если $x=1,4,7$, то $2x\equiv2\pmod3$, нужно $y\equiv0\pmod3$, то есть $y=0,3,6,9$ — 4 значения; получаем $3\cdot4=12$ пар;
• если $x=2,5,8$, то $2x\equiv1\pmod3$, нужно $y\equiv1\pmod3$, то есть $y=1,4,7$ — 3 значения; получаем $3\cdot3=9$ пар;
• если $x=0,3,6,9$, то $2x\equiv0\pmod3$, нужно $y\equiv2\pmod3$, то есть $y=2,5,8$ — 3 значения; получаем $4\cdot3=12$ пар.

Итого $12+9+12=33$ пятизначных палиндрома делятся на 15.

в) Чтобы найти 37‑е число по возрастанию, нужно учесть все палиндромы с меньшим числом цифр.

• Однозначных и двузначных палиндромов, кратных 15, нет (двузначный палиндром $\overline{aa}=11a$ не делится на 15).
• Трёхзначный: вид $\overline{5y5}$, сумма $10+y\equiv0\pmod3\Rightarrow y=2,5,8$ — числа $525,555,585$ (3 штуки).
• Четырёхзначный: вид $\overline{5x x5}$, сумма $10+2x\equiv0\pmod3\Rightarrow x=1,4,7$ — числа $5115,5445,5775$ (3 штуки).

Всего таких чисел меньше пятизначных: $3+3=6$. Значит среди пятизначных нужное число — $37-6=31$-е по возрастанию.

Пятизначные палиндромы, отсортированные по возрастанию, растут вместе с $x$, а при фиксированном $x$ — с $y$. Наибольший $x=9$ даёт три варианта $y=2,5,8$ (тройка из первой группы, $x\equiv0\pmod3$), соответствующие числам $59295,59595,59895$ — это последние три числа во всём списке из 33, то есть 31‑е, 32‑е и 33‑е в подсписке пятизначных, то есть 37‑е, 38‑е и 39‑е в общем списке.

Поэтому 37‑е число — наименьшее из этих трёх: $59295$.