Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Чтобы вычёркиванием цифр получить нужное число, все его цифры должны стоять в исходном числе в том же порядке (не обязательно подряд). Возьмём число $7814236$: цифры $1,2,3$ идут в нём по порядку — получаем $123$; цифры $4,2,6$ — получаем $426$; цифры $7,8,6$ — получаем $786$. Все три условия выполнены.

б) В числах $123,238,435,567,791$ встречаются все цифры от $1$ до $9$, причём каждая ровно по разу. Значит, в девятизначном числе каждая цифра должна стоять один раз, и порядок цифр в нём должен согласовываться со всеми пятью числами. Из условий следует цепочка: после $1$ должна идти $3$ (из $123$), после $3$ — $5$ (из $435$), после $5$ — $7$ (из $567$), после $7$ — $1$ (из $791$). Получаем, что $1$ должна стоять после самой себя — противоречие. Значит такого числа не существует.

в) Чтобы получить $11,22,33$, в числе нужно не менее двух единиц, двух двоек и двух троек, плюс по одной остальных цифр ($4$–$9$ и $0$) — итого не менее $13$ цифр. Строим минимальное $13$-значное число, выбирая на каждом шаге наименьшую допустимую цифру: первая цифра — $1$; чтобы получить $21$ и $31$, между двумя единицами нужны $2$ и $3$, значит вторая цифра $2$; чтобы получить $32$, между двойками нужна тройка — третья цифра $3$. Далее по возрастанию ставим оставшиеся цифры $4,5,6,7,8,9$, но $0$ обязан идти сразу после $4$ (иначе не получить $40$). Так получаем $1231234056789$ — это наименьшее подходящее число.