Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём подряд идущие числа $1235,1236,\dots ,1254$ — их ровно 20. Для чисел $1235$–$1249$ вторая цифра равна 2, а третья и четвёртая пробегают такие значения, что сумма первых двух цифр (1+2=3) никогда не совпадает с суммой последних двух — она либо меньше, либо больше 3, а для $1250$–$1254$ первая пара цифр даёт сумму $1+2=3$, а последняя пара всегда больше. Прямой проверкой убеждаемся, что ни одно из этих чисел не является «очень счастливым».

б) Пусть меньшее число $\overline{abcd}$, большее $\overline{klmn}$, и $\overline{klmn}-\overline{abcd}=2016$. Разбираем перенос разрядов при вычитании последних двух цифр: получаем, что $(m+n)-(c+d)$ при делении на 9 даёт остаток 6 или 7 (из-за переноса единицы в тысячи из‑за прибавления 2016). Аналогично для первых двух цифр: $(k+l)-(a+b)$ при делении на 9 даёт остаток 2 или 3. Но по условию «очень счастливости» $(k+l)-(a+b)=(m+n)-(c+d)$, а остатки 6,7 и 2,3 никогда не совпадают — противоречие. Значит такая разность невозможна.

в) Для $k=1,3,5,7,9$ подходящее кратное найдено, например $1890=2\cdot945$ кратно $3,5,7,9$. Проверим $k=11$: для $\overline{abcd}=1000a+100b+10c+d$ имеем $\overline{abcd}\equiv (b-a+d-c)\pmod{11}$. Если число кратно 11, то $b-a+d-c\in\{0,11,-11\}$. При этом «очень счастливость» даёт $a+b=c+d$ и (после перестановки) $a+c=b+d$ (или с добавкой $\pm11$). Вычитая эти равенства, получаем $2(b-c)=0$ или $2(b-c)=\pm11$ — оба случая невозможны (либо $b=c$, что запрещено различием цифр, либо нецелое число). Значит кратных 11 «очень счастливых» чисел нет, и наименьшим нечётным числом без такого кратного является 11.