Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

a) Нужно подобрать пример. Пусть $a=2974$. Тогда сумма цифр $b=2+9+7+4=22$, а сумма цифр числа $b$ равна $c=2+2=4$. Все три числа $a,b,c$ различны, и $a+b+c=2974+22+4=3000$. Значит, такое возможно.

б) Ключевое свойство: любое число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 3 (это следствие признака делимости на 9, который работает и для 3). Поэтому $a\equiv b\equiv c \pmod 3$, а значит $a+b+c\equiv 3a\equiv 0\pmod 3$, то есть сумма $a+b+c$ обязательно делится на 3. Проверим 2000: $2000=3\cdot666+2$, остаток 2, не 0. Значит равенство $a+b+c=2000$ невозможно.

в) Четырёхзначное число имеет не более $4\times9=36$ в сумме цифр, поэтому $b\le36$, а условие $c=4$ означает, что сумма цифр числа $b$ равна 4. Среди чисел от 1 до 36 такие: $b=4,13,22,31$ — все они дают остаток 4 при делении на 9. Значит, $c=4$ равносильно тому, что $a\equiv4\pmod9$ и $b\ne4$ (по условию задачи все три числа $a,b,c$ должны быть различны, а нам нужно исключить случай $b=4$, так как тогда $b=c$).

Чисел с остатком 4 по модулю 9 среди четырёхзначных ровно $1000$ (поскольку остатки распределены равномерно: $9000/9=1000$).

Теперь считаем, сколько из них имеют $b=4$, то есть сумму цифр, равную 4:

• $4000$ — 1 число;
• $3100$ и его перестановки — $2\times3=6$;
• $2200$ и перестановки — 3;
• $2110$ и перестановки — 9;
• $1111$ — 1.

Итого $1+6+3+9+1=20$ чисел с $b=4$, их нужно исключить.

Ответ: $1000-20=980$.