Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Число с суммой цифр $S$, где $S=a+9b,\ 1\le a\le9,\ b\ge0$, не может иметь меньше $b+1$ цифр (сумма $b$ цифр не больше $9b$). Среди $(b+1)$-значных чисел наименьшее получится, если первую цифру взять равной $a$, а остальные $b$ цифр — девятками: число вида $a\underbrace{99\ldots9}_{b}$. Оно меньше всех остальных чисел с той же суммой цифр (либо короче их, либо, при равной длине, имеет меньшую первую цифру). Значит, все «замечательные» числа — это числа вида $a\underbrace{9\dots9}_{b}$, и они естественно выстраиваются по возрастанию суммы цифр: $1,2,\dots,9,19,29,\dots,99,199,\dots,999,1999,\dots$

При переходе от одного числа к следующему сумма цифр увеличивается ровно на 1 (после $9+9b$ идёт $1+9(b+1)=10+9b$). Поэтому порядковый номер числа в этом списке равен его сумме цифр.

а) Значит, сумма цифр 2015‑го числа равна $2015$.

б) Двузначные числа — это $a=1,\dots,9,\ b=1$: $19,29,\dots,99$ — всего $9$ чисел.

в) Число $5999$ имеет $a=5,\ b=3$ (три девятки), значит оно стоит в 4‑й группе ($b+1=4$) на 5‑м месте: номер $=9\cdot3+5=32$.

г) Четырёхзначные замечательные числа — это $a999$ при $b=3$: $1999,2999,\dots,9999$. Их сумма — сумма арифметической прогрессии: $$\sum_{a=1}^{9}(1000a+999)=1000\cdot45+9\cdot999=45000+8991=53991.$$