Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Каждое двузначное число запишем как $\overline{a_i b_i}=10a_i+b_i$, где $a_i$ — первая цифра, $b_i$ — вторая (обе от 1 до 9, так как нулей нет). Пусть $A=a_1+\dots+a_n$ — сумма первых цифр, $B=b_1+\dots+b_n$ — сумма вторых цифр. Тогда исходная сумма равна $10A+B=264$, а после перестановки цифр местами каждое число становится $10b_i+a_i$, и новая сумма равна $S=10B+A$.

а) Нужно проверить, может ли $S=4\cdot264=1056$. Возьмём 11 раз число 19 и один раз 55: сумма $11\cdot19+55=209+55=264$ — подходит. После перестановки цифр получаем 11 раз 91 и один раз 55: $11\cdot91+55=1001+55=1056=4\cdot264$. Значит, да, могла.

б) Если бы $S=3\cdot264$, то $10B+A=3\cdot264$, а также $10A+B=264$. Вычтем: $9(B-A)=3\cdot264-264=2\cdot264$. Левая часть делится на 9, а правая — на 9 не делится ($2\cdot264=528$, $528/9$ не целое). Противоречие, значит такое невозможно.

в) Выразим $S$ через $A$: из $10A+B=264$ имеем $B=264-10A$, тогда $$S=10B+A=10(264-10A)+A=2640-99A.$$ Чтобы $S$ было максимальным, нужно минимизировать $A$. Так как каждая цифра $b_i\le9$ и $a_i\ge1$, верно $b_i\le9a_i$, значит $B\le9A$. Подставляя в $10A+B=264$: $$264=10A+B\le10A+9A=19A \Rightarrow A\ge\frac{264}{19}>13,$$ то есть $A\ge14$ (целое число). Тогда $$S=2640-99A\le2640-99\cdot14=2640-1386=1254.$$ Проверим достижимость: 13 раз число 19 и один раз число 17 — сумма $13\cdot19+17=247+17=264$. После перестановки цифр: 13 раз 91 и один раз 71, сумма $13\cdot91+71=1183+71=1254$. Значит, максимум действительно равен 1254.