Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Обозначим суммы чисел в группах $A,B,C$, а количества чисел в них $x,y,z$. Приписывание цифры $6$ или $9$ справа означает умножение числа на 10 и добавление этой цифры, поэтому новая сумма равна $10A+6x+10B+9y+C$.

а) Достаточно подобрать пример: числа $2,7,3$ разбиваем по одному в каждую группу и получаем $26,79,3$. Проверка показывает, что сумма увеличивается ровно в 9 раз, значит такое возможно.

б) Если увеличение в 19 раз возможно, то $10A+6x+10B+9y+C=19(A+B+C)$, то есть $6x+9y=9A+9B+18C$. Но сумма чисел не меньше их количества: $A\ge x$, значит $9A\ge 9x>6x$; аналогично $9B\ge 9y$. Тогда правая часть строго больше левой при $C>0$, то есть $18C<0$ — противоречие, так как $C$ натуральное. Значит увеличение в 19 раз невозможно.

в) Рассмотрим отношение $\dfrac{10A+6x+10B+9y+C}{A+B+C}=1+\dfrac{6x+9y+9A+9B}{A+B+C}$. Чтобы максимизировать дробь, третью группу и первую группу выгодно свести к одному числу (перенос числа увеличивает числитель, не увеличивая знаменатель), а число из третьей группы сделать минимальным — единицей. Числа во второй и первой группах берём наименьшими: $2,3,\dots,y+2$. Тогда сумма $A+B+1=1+2+\dots+(y+2)=\dfrac{(y+2)(y+3)}{2}$, и выражение принимает вид $10+\dfrac{18y-6}{(y+2)(y+3)}$. Проверка целых $y=1,2,3,4$ даёт значения $11;\ 11{,}5;\ 11{,}6;\ 11\frac47$, а при $y\ge4$ функция убывает (производная отрицательна), значит максимум достигается при $y=3$ и равен $11{,}6$. Пример: числа $1,2,3,4,5$ превращаются в $1,26,39,49,59$, сумма увеличивается с $15$ до $174=11{,}6\cdot15$.