Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства
На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 31 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.
а) Можно ли сделать 4 хода?
б) Можно ли сделать 9 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
Разбор
а) 4 хода. Возьмём тройки чисел с суммами, которые все меньше 31 и различны: Все числа в тройках разные, суммы разные и меньше 31 — условие выполнено, значит 4 хода сделать можно.
б) 9 ходов. За 9 ходов стирается чисел — то есть все числа от 1 до 27 без остатка разбиваются на 9 троек. Каждая сумма тройки меньше 31, то есть не больше 30. Значит суммарно все числа дают не больше . Но реальная сумма всех чисел от 1 до 27 равна Получаем — противоречие. Значит 9 ходов сделать нельзя.
в) Наибольшее число ходов. Проверим, можно ли сделать 6 ходов. Суммы 6 троек должны быть различными числами, каждое не больше 30, значит их сумма не больше суммы шести наибольших возможных значений: С другой стороны, за 6 ходов стирается чисел, и их сумма не может быть меньше суммы 18 наименьших чисел от 1 до 27: Так как , сделать 6 ходов невозможно.
Пять ходов сделать можно, например: Все числа различны, суммы различны и каждая меньше 31. Значит максимальное число ходов равно 5.
Типичные ошибки
- Забывают, что суммы троек должны быть попарно различны, и оценивают верхнюю границу без учёта этого ограничения.
- Ошибочно считают сумму всех чисел от 1 до 27 (путают формулу арифметической прогрессии).
- При оценке нижней границы суммы используемых чисел берут не самые маленькие числа, что даёт неверное неравенство.
Похожие задачи
- № 514479На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 30. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 3
- № 642379Даны числа A и B. Из них можно сделать числа A + 2 и B − 1 или B + 2 и A − 1, только если следующая пара этих чисел буде
- № 698242Дано натуральное число n. За один ход разрешается либо прибавить к числу его наибольший делитель, не равный самому числу
- № 548430На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказа
- № 642752Из пары натуральных чисел (a; b), где … за один ход получают пару (a + b; a – b).а) Можно ли за несколько таких ходов по
- № 514452На доске написаны числа 2 и 3. За один ход из них можно получить числа a + b и 2a − 1 или числа a + b и 2b − 1 (например