Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно взять пять троек с разными суммами, каждая меньше 35, и не повторять числа. Возьмём тройки, симметричные относительно центра, с убывающей суммой: $(13,14,7)\to 34$, $(12,15,6)\to 33$, $(11,16,5)\to 32$, $(10,17,4)\to 31$, $(9,18,3)\to 30$. Все числа разные, суммы различны и меньше 35 — условия выполнены.

б) Если сделать 10 ходов, будет стёрто $10\cdot3=30$ чисел — то есть все числа доски. Их суммы обязаны быть различными и не превышать 34, поэтому наибольшие возможные суммы — это 10 чисел от 25 до 34: $$25+26+\dots+34=\frac{(25+34)\cdot10}{2}=295.$$ Но сумма всех чисел от 1 до 30 равна $$1+2+\dots+30=\frac{(1+30)\cdot30}{2}=465.$$ Поскольку $465\ne295$ и даже больше максимально возможной суммы 10 троек, все 30 чисел с такими ограничениями стереть нельзя. Значит, 10 ходов невозможны.

в) Добавим к пяти ходам пункта а) шестой: $(8,19,2)\to29$ — сумма новая, тройка ещё не использованная, значит 6 ходов возможны.

Покажем, что 7 ходов сделать нельзя. Если бы это было так, стёрли бы 21 число с суммами не более чем 34,33,...,28 (наибольшие из возможных различных сумм). Их суммарное значение: $$34+33+\dots+28=\frac{(34+28)\cdot7}{2}=217.$$ Тогда оставшиеся 9 чисел должны в сумме давать $$465-217=248.$$ Но максимум, что могут дать 9 чисел из набора 1–30, — это самые большие 9 чисел: $$22+23+\dots+30=\frac{(22+30)\cdot9}{2}=234.$$ Получаем $248>234$ — противоречие. Значит, 7 ходов невозможны, а максимум — 6.