Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём $n=44$. Все цифры числа 44 чётные, поэтому $O(44)=0$. Тогда $4\cdot n=176$, а цифры 1,7,6 дают две нечётные (1 и 7), то есть $O(176)=2$. Значит $O(4n)=2=O(n)+2$, такое число существует.

б) Покажем, что число $5^{n}+2^{n+1}-2$ всегда меньше $10^{n}$, то есть в нём не больше $n$ цифр, а значит нечётных цифр в нём не может быть больше $n$. $$10^{n}-5^{n}-2\cdot2^{n}+2=(5^{n}-2)(2^{n}-1)>0$$ при всех натуральных $n$ (обе скобки положительны, так как $5^n\ge5>2$ и $2^n\ge2>1$). Отсюда $5^{n}+2^{n+1}-2<10^{n}$, значит число содержит не более $n$ цифр, и $O(5^{n}+2^{n+1}-2)\le n$. Строгое неравенство $O(\dots)>n$ невозможно.

в) Разберём числа по диапазонам, ищем наименьшее $n$, где $O(11n)=O(n)+2$.

• При $1\le n\le9$: $O(11n)=2\cdot O(n)$, что меньше $O(n)+2$ при $O(n)<2$ (а для однозначных чисел так и есть).
• При $10\le n\le19$: если $n$ чётно, $O(n)=1$, а $11n$ — трёхзначное чётное число, поэтому $O(11n)\le2<3=O(n)+2$; если $n$ нечётно, $O(n)=2$, и снова $O(11n)\le3<4$.
• При $20\le n\le27$: если $n$ чётно, все цифры $n$ и $11n$ чётные, значит $O(11n)=0<O(n)+2=2$; если $n$ нечётно, $11n$ лежит между 200 и 300, первая цифра 2 (чётная), и опять $O(11n)\le3=O(n)+2-...$ на самом деле $O(n)+2=3>O(11n)$.
• При $n=28$: $11\cdot28=308$, $O(308)=1$, а $O(28)+2=2$ — не равно.
• При $n=29$: $11\cdot29=319$, все три цифры (3,1,9) нечётные, $O(319)=3$; $O(29)=1$ (только 9 нечётная), значит $O(29)+2=3=O(319)$ — равенство выполняется.

Таким образом, наименьшее подходящее $n=29$.