Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) При $m=d=2$ девочки играют с мальчиками $2\cdot2\cdot2=8$ партий (каждая девочка встречается с каждым мальчиком дважды). В каждой партии максимум 1 очко, значит из этих встреч девочки могут набрать не более $8$ очков (если выиграют все). Между собой девочки играют $2$ партии, и независимо от результата в сумме за них разыгрывается ровно $2$ очка. Значит, наибольшая возможная сумма очков девочек: $8+2=10$.

б) Всего участников $n=m+d=10$. Каждая пара игроков встречается дважды, поэтому число партий равно $2\binom{10}{2}=2\cdot45=90$. В каждой партии суммарно разыгрывается ровно 1 очко (1+0 или 0,5+0,5), поэтому общая сумма очков всех участников равна $90$.

в) Покажем, что подходит любое натуральное $d$, взяв $m=d$. Партий «мальчик–мальчик» и «девочка–девочка» по $d(d-1)$ каждых. Всего партий в турнире $2\binom{2d}{2}=2d(2d-1)$, значит смешанных партий $2d(2d-1)-2d(d-1)=2d^2$. Пусть каждая девочка сыграла вничью с одним мальчиком, а остальные партии проиграла — тогда девочки получили из смешанных партий $d\cdot0{,}5=\dfrac{d}{2}$ очков. Итоговая сумма очков девочек: $d(d-1)+\dfrac{d}{2}=d\left(d-\dfrac12\right)$. Мальчики получили оставшиеся очки: $d(d-1)+2d^2-\dfrac{d}{2}=3d\left(d-\dfrac12\right)$ — ровно втрое больше. Так как $d$ выбиралось произвольно, условие выполняется для любого натурального $d$.