Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Часть а)

Предположим противное: некоторая девочка собрала меньше грибов, чем некоторый мальчик. Обозначим их количества как $d$ и $m$ соответственно, где $d < m$.

Теперь к этой девочке добавим трёх других девочек (всего 4), а к этому мальчику добавим пять других мальчиков (всего 6). По условию любые две девочки собрали больше, чем любые три мальчика. Значит, две девочки из нашей четвёрки собрали больше, чем три мальчика из нашей шестёрки. Но это означает, что четыре девочки собрали больше, чем шесть мальчиков.

Однако выбираем две девочки из четырёх и три мальчика из шести: получаем противоречие с условием. Значит, любая девочка собрала больше, чем любой мальчик.

Часть б)

Пусть мальчики собрали 91, 92, …, 100 грибов, а девочки 149, 150, …, 155 грибов. Проверим условия:

• Две любые девочки: минимум $149 + 150 = 299$; три любых мальчика: максимум $98 + 99 + 100 = 297$. ✓
• Пять мальчиков: максимум $96 + 97 + 98 + 99 + 100 = 490$; три девочки: минимум $149 + 150 + 151 = 450$. ✓

Все значения различны, значит ответ — да.

Часть в)

Отсортируем: мальчики $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_{10}$, девочки $b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq b_7$.

Из условия «две девочки > три мальчика»: $b_1 + b_2 > a_8 + a_9 + a_{10}$, откуда $b_1 + b_2 \geq a_8 + a_9 + a_{10} + 1$.

Из условия «пять мальчиков > три девочки»: $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 > b_5 + b_6 + b_7$, откуда $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \geq b_5 + b_6 + b_7 + 1$.

Через цепочку неравенств (подставляя одно в другое и используя свойство монотонности) получаем: $$3(a_8 + a_9 + a_{10}) + 5 \leq a_1 + 3(a_8 + a_9 + a_{10})$$

Это даёт $a_1 \geq 5$. Аналогично получаем $b_1 \geq 8$.

Таким образом, суммарное количество грибов не менее $10 \cdot 5 + 7 \cdot 8 = 50 + 56 = 106$.

Этот минимум достижим: если все мальчики собрали по 5 грибов, а все девочки — по 8, условия выполнены (две девочки: 16 > 15, пять мальчиков: 25 > 24).