Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Для любого $x$ верно $[x]\le x$, поэтому $[\sqrt{n+2}]\cdot[\sqrt{n-2}]\le \sqrt{n+2}\cdot\sqrt{n-2}=\sqrt{n^2-4}<n$. Значит равенство произведения целых частей числу $n$ невозможно — ответ «нет».

б) Подберём $n$ так, чтобы под корнями получились точные квадраты. Возьмём $n=35\cdot34=1190$. Тогда $n+35=35^2$, $n-34=34^2$, поэтому $[\sqrt{n+35}]=35$, $[\sqrt{n-34}]=34$, а их произведение $35\cdot34=n$ — условие выполняется, значит такое число существует.

в) Сначала оценим сверху: $n=[\sqrt{n+75}]\cdot[\sqrt{n-74}]\le\sqrt{(n+75)(n-74)}=\sqrt{n^2+n-75\cdot74}$. Возводя в квадрат, получаем $n^2\le n^2+n-75\cdot74$, то есть $n\ge75\cdot74=5550$.

При $n=5550$ имеем $n+75=75^2$, $n-74=74^2$, значит $[\sqrt{n+75}]=75$, $[\sqrt{n-74}]=74$, и $75\cdot74=n$ — равенство выполняется.

Теперь докажем, что больших решений нет. Пусть $n>5550$. Если $[\sqrt{n+75}]=[\sqrt{n+74}]$, то, заменив $n+75$ на $n+74$, получаем ту же оценку $n\le\sqrt{n^2-74^2}<n$ — противоречие. Если же $[\sqrt{n+75}]>[\sqrt{n+74}]$, то $\sqrt{n+75}=k$ — целое число, и $n=k\cdot[\sqrt{k^2-149}]$, откуда $k^2-75$ делится на $k$, значит $75$ делится на $k$, то есть $k\le75$. Тогда $n+75=k^2\le75^2$, откуда $n\le5550$ — противоречие с $n>5550$. Следовательно, единственное решение $n=5550$.