Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Основной инструмент — формула числа делителей: если $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$ — разложение на простые множители, то количество натуральных делителей равно $$d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots(\alpha_k+1).$$ Это следует из того, что делитель получается независимым выбором степени каждого простого множителя от 0 до $\alpha_i$.

а) Возьмём $n=60=2^2\cdot3\cdot5$. Оно делится на 12, а число делителей $d(60)=(2+1)(1+1)(1+1)=12$. Значит такое число существует — ответ «да».

б) Нужно $d(n)=14=2\cdot7$. Разложения на множители вида $(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)\cdots$: либо один простой множитель со степенью 13 ($14=14$), либо два множителя со степенями 1 и 6 ($14=2\cdot7$). Так как $n$ обязано делиться на $14=2\cdot7$, оно должно содержать оба простых числа 2 и 7, поэтому случай с одним простым множителем не подходит. Остаётся распределить степени 1 и 6 между 2 и 7: $$n=2^1\cdot7^6=448\cdot...$$ Считаем: $n=2\cdot7^6=2\cdot117649=235298$ или $n=2^6\cdot7=64\cdot7=448$.

в) Нужно $d(n)=2014=2\cdot19\cdot53$. Берём три простых множителя со степенями $\alpha_1+1=2,\ \alpha_2+1=19,\ \alpha_3+1=53$, то есть $\alpha_1=1,\alpha_2=18,\alpha_3=52$. Пусть эти простые — 2, 19, 53 (совпадают с делителями числа 2014, что удобно, так как $2014=2\cdot19\cdot53$). Тогда $n=2^1\cdot19^{18}\cdot53^{52}$ делится на $2\cdot19\cdot53=2014$ и имеет $d(n)=2\cdot19\cdot53=2014$ делителей. Значит такое число существует — ответ «да».