Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Подбираем разложение напрямую: возьмём первую дробь чуть больше половины нужной суммы. $\frac{1}{6}=\frac{1}{7}+\frac{1}{42}$ — проверка: $\frac{6}{42}+\frac{1}{42}=\frac{7}{42}=\frac16$. Знаменатели 7 и 42 различны, числители — единицы, значит представление существует.

б) Аналогично ищем два различных знаменателя: $\frac{2}{7}=\frac{1}{4}+\frac{1}{28}$, так как $\frac{7}{28}+\frac{1}{28}=\frac{8}{28}=\frac27$. Условия выполнены — да.

в) Одной дробью $\frac{1}{x}=\frac37$ представить нельзя, так как $x=\frac73$ не натуральное число.

Проверим, что и двух дробей мало. Пусть $\frac37=\frac1x+\frac1y$, $x>y$. Тогда $\frac1x+\frac1y<\frac2y$, поэтому $\frac37<\frac2y$, откуда $3y<14$, то есть $y\le4$. Перебираем: при $y=1,2$ разность $\frac37-\frac1y$ отрицательна — не подходит; при $y=3$: $\frac37-\frac13=\frac{2}{21}$ — не равно $\frac1x$ ни при каком целом $x$; при $y=4$: $\frac37-\frac14=\frac{5}{28}$ — тоже не вида $\frac1x$. Значит двух слагаемых недостаточно.

Три слагаемых достигаются: используя результат пункта б), $\frac37=\frac17+\frac27=\frac17+\frac14+\frac1{28}$ — все знаменатели различны. Таким образом минимальное число слагаемых равно 3.