Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пункт а)

Нужно разложить $\frac{33}{100}$ на сумму дробей с единицами в числителе и разными знаменателями. Проверим предложенный пример: $\frac{1}{5} + \frac{1}{10} + \frac{1}{50} + \frac{1}{100}$.

Приведём к общему знаменателю 100: $$\frac{20}{100} + \frac{10}{100} + \frac{2}{100} + \frac{1}{100} = \frac{33}{100}$$ ✓

Пункт б)

Проверим: $\frac{1}{13} + \frac{1}{14} + \frac{1}{91} + \frac{1}{182}$.

Общий знаменатель — 182 (так как $91 = 7 \times 13$, $14 = 2 \times 7$, $\text{НОК} = 2 \times 7 \times 13 = 182$): $$\frac{14}{182} + \frac{13}{182} + \frac{2}{182} + \frac{1}{182} = \frac{30}{182} = \frac{15}{91}$$ ✓

Пункт в)

Реши уравнение: $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = \frac{1}{14}$ при $m \leq n$.

Приведи к общему знаменателю: $\frac{m+n}{mn} = \frac{1}{14}$, откуда $14(m+n) = mn$.

Перепиши как $mn - 14m - 14n = 0$. Добавь 196 к обеим частям: $$mn - 14m - 14n + 196 = 196$$ $$(m-14)(n-14) = 196$$

Делители числа 196: $1, 2, 4, 7, 14, 28, 49, 98, 196$.

Для каждого делителя $d$ числа 196 полагаем $m - 14 = d$ и $n - 14 = \frac{196}{d}$:

• $d=1$: $m=15, n=210$
• $d=2$: $m=16, n=112$
• $d=4$: $m=18, n=63$
• $d=7$: $m=21, n=42$
• $d=14$: $m=28, n=28$ (но нужно $m \leq n$, это граница)

Проверка: при $m=15$, $n=210$: $\frac{1}{15} + \frac{1}{210} = \frac{14}{210} + \frac{1}{210} = \frac{15}{210} = \frac{1}{14}$ ✓