Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Подбираем три различные дроби вида $\frac1n$, сумма которых равна 1. Проверка: $\frac12+\frac13+\frac16=\frac{3+2+1}{6}=1$. Подходит.

б) Пусть $1=\frac1x+\frac1y$, где $x<y$ — натуральные числа. Если $x=1$, то $\frac1x=1$, и второе слагаемое должно быть равно 0 — невозможно для простой дроби. Значит $x\ge2$. Тогда наименьшие возможные различные знаменатели — $x=2,\,y\ge3$, и $\frac1x+\frac1y\le\frac12+\frac13=\frac56<1$. При увеличении $x$ или $y$ сумма только уменьшается, значит равенство $\frac1x+\frac1y=1$ никогда не достигается. Ответ — нет.

в) Любая конечная сумма дробей $\frac1n$ — рациональное число, поэтому получить иррациональное число так нельзя. Покажем, что любое рациональное $0<\frac{x}{y}<1$ представимо в таком виде — жадным алгоритмом (алгоритм Фибоначчи–Сильвестра). На каждом шаге берём наибольшую дробь $\frac1n$, не превосходящую оставшегося числа: если $\frac{x}{y}<\frac1{n-1}$, то $nx-x<y$, и вычитание даёт $\frac{x}{y}-\frac1n=\frac{xn-y}{yn}<\frac{x}{yn}$ — то есть новый числитель строго меньше $x$. Так как числитель — целое неотрицательное число, уменьшающееся на каждом шаге, процесс закончится за конечное число шагов, когда числитель станет 0. Сумма всех вычтенных дробей даст исходное число. Значит представить можно любое положительное рациональное число, меньшее 1.