Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Числа складываем по очереди, пока сумма не превысит 90 — это возможно, так как общая сумма больше 90. Пусть последнее добавленное число $a\le 10$ сделало сумму больше 90. Убираем его: оставшаяся сумма больше $90-10=80$, но не больше 90 (иначе превышение произошло раньше). Значит нужный набор всегда найдётся.

б) Достаточно одного контрпримера. Возьмём 11 чисел, каждое равное $8{,}2\le 10$. Их сумма $11\cdot 8{,}2=90{,}2>90$. Любые 10 чисел дают сумму $10\cdot 8{,}2=82$ — это больше 90? Нет, $82\le90$, но нам нужна сумма строго больше 82. Полная сумма при взятии 10 чисел равна ровно 82 (не больше), а при 9 числах сумма $9\cdot 8{,}2=73{,}8<82$. Промежуточных сумм между 73,8 и 82 получить нельзя, так как все числа одинаковы. Значит выбрать подмножество с суммой в $(82;90]$ невозможно — утверждение неверно.

в) Рассмотрим два случая.

1. Если в наборе есть 9 чисел, каждое больше 9, их сумма больше $9\cdot9=81$, но не превышает 90 (так как все числа $\le10$, а общее число чисел ограничено условием суммы). Это искомый набор.

2. Если чисел, больших 9, не более 8, их сумма меньше $8\cdot10=80$. Тогда, как в пункте а), последовательно добавляем оставшиеся числа (каждое $\le9$), пока сумма не превысит 90, а затем убираем последнее добавленное число $b\le9$. Получаем сумму больше $90-9=81$, но не больше 90. Таким образом, в обоих случаях нужный набор существует — утверждение верно.