Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Складываем числа по порядку, пока сумма не превысит 110 — это обязательно случится, так как сумма всех чисел больше 110. Пусть перед добавлением последнего слагаемого $a$ (где $0<a\le 11$) сумма была $S\le 110$, а после добавления $S+a>110$. Уберём это последнее число $a$ из набора. Тогда оставшаяся сумма $S=(S+a)-a>110-11=99$, и при этом $S\le110$. Значит нужный набор всегда найдётся — утверждение верно.

б) Приведём контрпример: 12 чисел, равных $10{,}1$. Сумма всех $=12\cdot10{,}1=121{,}2>110$. Возьмём любые $k$ из них, сумма равна $10{,}1k$. При $k=11$: $10{,}1\cdot11=111{,}1>110$ — не подходит. При $k\le10$: $10{,}1k\le10\cdot10{,}1=101$, то есть сумма не больше $101$ — тоже не подходит. Значит ни при каком $k$ сумма не лежит строго между $101$ и $110$ — утверждение ложно.

в) Если среди чисел есть $a\le10$, действуем как в пункте а), но выбрасываем именно это число: оставшаяся сумма $>110-10=100$, и $\le110$. Если все числа $>10$, то их не меньше 11 (иначе сумма 10 чисел была бы $\le110$, но не больше — значит нужно хотя бы 11). Возьмём любые 10 из них: сумма $>10\cdot10=100$ и $\le10\cdot11=110$. В обоих случаях нужный набор существует — утверждение верно.