Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Подбираем знаки: $$\frac{1+3+6-15}{1+4+8-16}=\frac{-5}{-3}=\frac{5}{3}.$$ Значит, требуемая расстановка существует — ответ «да».

б) Рассмотрим знаменатель $1\pm4\pm8\pm12\pm16=1+4(\pm1\pm2\pm3\pm4)$. Сумма в скобках всегда чётна, обозначим её $2m$, $m\in[-5,5]$. Тогда знаменатель равен $8m+1=7m+(m+1)$, и он делится на 7 только при $m=-1$, то есть знаменатель равен $-7$. Тогда числитель должен быть равен $-4$ (чтобы дробь была $4/7$). Но числитель $1\pm3\pm6\pm9\pm12$ при делении на 3 всегда даёт остаток $1$ (каждое слагаемое $\equiv0\ \text{или}\ \pm0\pmod3$, кроме 1), а $-4\equiv2\pmod3$. Противоречие — значит такая расстановка невозможна, ответ «нет».

в) По той же логике числитель $1\pm3\pm6\pm9\pm12=6k+1$, знаменатель $1\pm4\pm8\pm12\pm16=8m+1$, где $k,m\in[-5,5]$. Тогда $$\left|\frac34-\frac{6k+1}{8m+1}\right|=\left|\frac{6(m-k)-\frac14}{8m+1}\right|.$$ При фиксированном $m$ минимум достигается при $k=m$, и выражение становится $\left|\frac{1}{32m+4}\right|$. Чтобы это было минимально, нужно максимизировать $|32m+4|$, что происходит при крайнем значении $m=5$: $32\cdot5+4=164$. Таким образом минимальное значение выражения равно $\frac{1}{164}$, достигается при $k=m=5$, то есть когда все знаки $+$.