Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём числа 10, 12, 18, 20, 24, 27, 33, 35, 55, 65 и проверим условия. На 2 делятся 10, 12, 18, 20, 24 — ровно 5 штук. На 3 делятся 12, 18, 24, 27, 33 — тоже 5. На 5 делятся 10, 20, 35, 55, 65 — снова 5. На 6 (то есть сразу на 2 и на 3) делятся 12, 18, 24 — ровно 3. Все условия выполнены, числа различны и двузначны.

б) Предположим, что такие 10 чисел существуют. Среди них 7 делятся на 3 и 7 делятся на 5 — по принципу Дирихле хотя бы 7+7−10=4 числа делятся сразу и на 3, и на 5, то есть на $3\cdot5=15$. Из этих чисел (или из всех десяти) ещё 7 делятся на 7. Значит, среди «остатка» найдётся число, делящееся одновременно на 15 и на 7, то есть на $3\cdot5\cdot7=105$. Но двузначных чисел, делящихся на 105, не существует — противоречие. Значит, таких десяти чисел не бывает.

в) Все двузначные числа, делящиеся на 7, имеют вид $7p$, где $p$ — целое от 2 до 14 (так как $7\cdot2=14$, $7\cdot14=98$). Если два таких числа $7p_1$ и $7p_2$ входят в набор, их НОД равен $7\cdot\gcd(p_1,p_2)$; чтобы НОД был не больше 7 (как требует условие), нужно $\gcd(p_1,p_2)=1$. Значит, нужные $p$ должны быть попарно взаимно простыми числами из промежутка [2;14]. Среди чисел 2–14 максимальный набор попарно простых — это простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, всего 6 штук (составные числа неизбежно делят друг друга общими простыми множителями). Следовательно, чисел, кратных 7, не может быть больше 6. Пример, где это достигается: 14, 21, 35, 49, 77, 91 (первые шесть, НОД любых двух равен 7) и 17, 19, 23, 41 — простые двузначные числа, взаимно простые со всеми остальными. Итог — максимум 6.