Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Пусть $a>b>c$ — цифры, из которых составляют шесть трёхзначных чисел.

а) d=6. Возьмём цифры 2, 4, 6. Каждое из шести чисел содержит только чётные цифры, значит все числа чётны; сумма цифр $2+4+6=12$ делится на 3, поэтому все числа кратны 3, а значит и 6. Проверим, что больше 6 общий делитель не бывает: $246=6\cdot41$, $264=6\cdot44$, и $\gcd(41,44)=1$, значит $d=6$ точно достигается.

б) d=7 невозможно. Возьмём два числа $\overline{abc}=100a+10b+c$ и $\overline{acb}=100a+10c+b$. Их разность равна $9(b-c)$. Если оба числа делятся на 7, то и разность делится на 7, а так как $\gcd(9,7)=1$, то $7\mid (b-c)$. Аналогично $7\mid(a-c)$. Но цифры от 1 до 9 не могут дать сразу две такие разности, кратные 7, для одной и той же цифры — среди цифр 1..9 максимальная разность равна 8, и для каждой цифры найдётся не более одной другой цифры с разностью, кратной 7. Значит такого набора не существует, и $d=7$ невозможно.

в) Максимум d=18. Пусть $x=d$ делит разности $9(a-b)$ и $9(b-c)$ (получаются вычитанием соответствующих чисел, как выше).

• Если $x$ не делится на 3, то $x$ делит сами $(a-b)$ и $(b-c)$, значит $x\le 8$.
• Если $x$ делится на 3, но не на 9, то $x$ делит $3(a-b)$ и $3(b-c)$, а значит и их сумму $3(a-c)\le 3\cdot 8=24$, откуда $x\le 12$.
• Если $x=9y$, то $y$ делит $(a-b)$ и $(b-c)$, а сумма цифр $a+b+c$ делится на 9. Тогда $2y\le a-c\le 8$, то есть $y\le4$. Проверка $y=4$ даёт $a=9,b=5,c=1$, но сумма 15 не делится на 9 — не подходит. При $y=3$ получаем $a-b=b-c=3$: варианты 1,4,7; 2,5,8; 3,6,9 — сумма кратна 9 только у 3,6,9, но $963$ не делится на $27=9\cdot3$, значит $x=27$ не достигается. Остаются $y=1,2$, дающие $x\le18$.

Таким образом максимально возможное значение $d=18$, и оно реализуется на цифрах 4,6,8: все шесть чисел чётные и кратны 9 (сумма $4+6+8=18$), значит кратны 18. Проверка: $468=18\cdot26$, $486=18\cdot27$, $\gcd(26,27)=1$, значит $d=18$ действительно достигается.