Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Ищем число вида $N=2^{a}\cdot5$. Его делители — это все $2^{x}5^{y}$, где $x=0,\dots,a$, $y=0,1$. Перемножив их, показатель двойки получаем $2\sum_{x=0}^{a}x=a(a+1)$, показатель пятёрки $-a+1$. Значит произведение делителей равно $2^{a(a+1)-(a+1)}\cdot10^{a+1}=2^{(a-1)(a+1)}\cdot10^{a+1}$, то есть заканчивается на $a+1$ нулей. Нужно $a+1=6\Rightarrow a=5$, откуда $N=2^{5}\cdot5=160$.

б) Число, оканчивающееся на 3 нуля, имеет вид $X=2^{3}5^{a}B$ (или симметрично), $a\ge3$, $\gcd(B,10)=1$. Пусть $Y=5^{a}B$, $M$ — произведение всех его делителей, $N$ — их количество. Тогда произведение делителей $X$ равно $2^{0}M\cdot2^{N}M\cdot2^{2N}M\cdot2^{3N}M=2^{6N}M^{4}$. В показателе двойки стоит $6N$ — чётное число, а показатель пятёрки во множителе $M^4$ тоже чётен (четвёртая степень). Число нулей — это минимум из этих двух показателей, а он чётен, значит нечётным быть не может.

в) Пусть $X=2^{a}5^{b}B$, $b\ge a$, $\gcd(B,10)=1$, $Y=5^{b}B$, $M$ — произведение делителей $Y$, $N$ — число его делителей. Аналогично п. б) произведение делителей $X$ равно $2^{a(a+1)N/2}M^{a+1}$. Показатель пятёрки в $M^{a+1}$ не меньше $a(a+1)N/2$ (по такому же расчёту для $b$), поэтому число нулей равно $\dfrac{a(a+1)N}{2}=333$, то есть $a(a+1)N=666=2\cdot3^{2}\cdot37$. Так как $a(a+1)$ — чётное число, делящее 666, подходят $a(a+1)=2$ ($a=1$) или $a(a+1)=6$ ($a=2$); при этом $N=333$ или $N=111$ — целые, значит оба варианта реализуемы (например, $X=2\cdot5^{2}\cdot3^{2}\cdot7^{36}$ и $X=2^{2}\cdot5^{2}\cdot3^{36}$).