Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём числа $1,2,4,8,16,32,64,128$ (степени двойки). Пусть $a<b<c$ — любые три из них. Так как соседние степени двойки отличаются вдвое, $c\ge 2b$. Тогда $a+b<b+b=2b\le c$, то есть $a+b<c$ — неравенство треугольника не выполняется. Значит, ни одна тройка не «хорошая», ответ — да.

б) Расположим числа по возрастанию: $a<b<c<d$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза — наибольшая сторона, поэтому среди четырёх возможных троек $(a,b,c),(a,b,d),(a,c,d),(b,c,d)$ гипотенузой может быть только $c$ (в первой тройке) или $d$ (в остальных трёх). Для тройки $(a,b,c)$ условие «отличности» — $a^2+b^2=c^2$. Для троек с гипотенузой $d$ возможны равенства $a^2+b^2=d^2$, $a^2+c^2=d^2$, $b^2+c^2=d^2$. Если бы выполнялись два из них, вычитание давало бы равенство двух из чисел $a,b,c$ (например, из $a^2+c^2=d^2$ и $b^2+c^2=d^2$ следует $a=b$), что противоречит их различности. Значит, с гипотенузой $d$ может быть не более одной «отличной» тройки, а вместе с тройкой $(a,b,c)$ — не более двух. Три отличных тройки одновременно невозможны, ответ — нет.

в) Расположим 12 чисел по возрастанию. Каждое число может быть гипотенузой некоторого количества прямоугольных треугольников, катетами которых служат меньшие числа. Если бы одно число было гипотенузой двух треугольников с общим катетом, третьи стороны этих треугольников совпали бы (по теореме Пифагора), что противоречит различности чисел. Значит, для данного числа-гипотенузы никакой катет не может повторяться, и число возможных треугольников с этой гипотенузой не превышает $\left\lfloor \dfrac{k}{2}\right\rfloor$, где $k$ — количество меньших чисел. Для 12 чисел, считая от самого большого, количества меньших чисел равны $11,10,9,\dots,0$, а максимальные количества треугольников — $5,5,4,4,3,3,2,2,1,1,0,0$. Суммируя: $5+5+4+4+3+3+2+2+1+1=30$. Такое количество действительно достигается для набора $1,\sqrt2,\sqrt3,\dots,\sqrt{12}$: если $i+j=k$, то $(\sqrt i)^2+(\sqrt j)^2=(\sqrt k)^2$, и подсчёт таких троек даёт ровно 30. Значит, наибольшее возможное количество отличных троек — 30.