Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Дискриминант $D=m^2-4n$. Возьмём $m=5,\ n=2$: $D=25-8=17$ — подходит, значит такие числа существуют.

б) Предположим, что $m^2-4n=54$, тогда $m^2=54+4n$. Если $m$ чётно, $m^2$ делится на 4, а $54+4n$ при делении на 4 даёт остаток 2 — противоречие. Если $m$ нечётно, $m^2$ нечётно, а $54+4n$ чётно — тоже противоречие. Значит натуральных $m,n$ с $D=54$ нет.

в) Здесь $D=(3m+n)^2-4(3n+m)$. Раскроем: $-4(3n+m)=-12n-4m=-12(3m+n)+32m$. Тогда $$D=(3m+n)^2-12(3m+n)+32m.$$ Выделяя полный квадрат по $(3m+n)$: прибавим и вычтем 36: $$D=(3m+n-6)^2+32m-36.$$ Чтобы минимизировать $D$, нужно минимизировать оба слагаемых, значит стоит брать наименьшее возможное $m$, то есть $m=1$: тогда $$D=(n-3)^2-4=(n-1)(n-5).$$ При $n=1,\dots,5$ выражение неположительно, то есть $D\le 0$, что не подходит, так как $D$ должно быть натуральным (положительным). При $n=6$ получаем $D=(5)(1)=5>0$ — первое допустимое значение. При $n>6$ значение $(n-1)(n-5)$ только растёт.

При $m\ge2$ получаем $D=(3m+n-6)^2+32m-36\ge 0+64-36=28$, что заведомо больше 5.

Следовательно, наименьшее натуральное значение $D=5$, достигается при $m=1,\ n=6$ (трёхчлен $x^2+9x+19$).