Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Известно, что $1{,}4<\sqrt2<1{,}42$, то есть $\sqrt2\in\left[\dfrac{28}{20};\dfrac{71}{50}\right]$. Длина этого отрезка равна $\dfrac{71}{50}-\dfrac{28}{20}=\dfrac{1}{50}$. Значит, до одного из его концов расстояние от $\sqrt2$ не превышает половины длины отрезка, то есть $\dfrac1{100}$. Берём $m=28,\;n=20$ (или $m=71,\;n=50$) — оба двузначные, неравенство выполняется. Значит такие числа существуют.

б) Допустим, что нужные $m,n$ существуют. Тогда $\left|\dfrac{m^2}{n^2}-2\right|\le\dfrac1{10000}=\dfrac1{100^2}$. Так как $n<100$, то $\dfrac1{100^2}<\dfrac1{n^2}$, поэтому $\dfrac{m^2}{n^2}-\dfrac1{n^2}<2<\dfrac{m^2}{n^2}+\dfrac1{n^2}$. Умножая на $n^2$, получаем $m^2-1<2n^2<m^2+1$, а так как $2n^2$ — целое число, то $2n^2=m^2$. Но $\sqrt2$ иррационально, значит равенство $m^2=2n^2$ невозможно для натуральных $m,n$. Противоречие — таких чисел нет.

в) Запишем выражение как $1+\dfrac{10}{n}$ — оно монотонно убывает с ростом $n$. Проверяем: при $n=24$ значение $1+\dfrac{10}{24}=\dfrac{34}{24}$ больше $\sqrt2$, а при $n=25$ значение $1+\dfrac{10}{25}=\dfrac{35}{25}$ меньше $\sqrt2$. Модуль разности — это расстояние от дроби до $\sqrt2$, поэтому минимум достигается либо при $n=24$, либо при $n=25$. Сравнивая $\dfrac{34}{24}-\sqrt2$ и $\sqrt2-\dfrac{35}{25}$, видим, что первое меньше. Значит наименьшее значение достигается при $n=24$.