Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Полупериметр прямоугольника равен $2000$, поэтому стороны можно записать как $x$ и $2000-x$, где $1\le x\le 1000$ — натуральные числа. Площадь $S(x)=x(2000-x)=2000x-x^2$ — квадратичная функция с ветвями вниз, максимум которой достигается в вершине параболы $x=1000$.

а) При $x=1000$ прямоугольник становится квадратом со стороной $1000$, что допустимо ($n=100$). Тогда $S=1000\cdot1000=1\,000\,000$ — это наибольшее возможное значение.

б) Поскольку парабола симметрична относительно $x=1000$, чем дальше $x$ от вершины, тем меньше значение функции. Наименьшее допустимое $x=1$, тогда вторая сторона $2000-1=1999$, а $n=199900$ — натуральное число, условие выполняется. Площадь $S=1\cdot1999=1999$ — наименьшее значение.

в) Пусть $a$ — сторона, от которой берут проценты, тогда вторая сторона равна $\frac{an}{100}$. Из условия суммы сторон: $a+\frac{an}{100}=2000 \Rightarrow a(100+n)=200000$. Так как $a,n$ — натуральные, $(100+n)$ должно быть делителем числа $200000=2^6\cdot5^5$. Учитывая $n<100$, получаем $100<100+n<200$. Проверка делителей в этом диапазоне: чисто степени двойки не превышают $64$; делитель, кратный $5$ но не $25$, — только $160=2^5\cdot5$, откуда $a=1250$, вторая сторона $750$, площадь $937500$; делители, кратные $25$, — это $125,150,175$, но $150$ и $175$ не делят $200000$, остаётся $125$, тогда $a=1600$, вторая сторона $400$, площадь $640000$.