Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Площадь M равна сумме площадей 1292 квадратов, то есть $S=1292=4\cdot17\cdot19$. Нужен прямоугольник с целыми сторонами и площадью 1292, у которого меньшая сторона больше 15. Подходит $17\times 76$ (его можно разбить на единичные квадраты по строкам и столбцам), меньшая сторона 17>15.

б) Разбиение на квадраты — это сетка, поэтому каждая вершина многоугольника M совпадает с вершиной одного из квадратов, а значит угол многоугольника в этой точке равен $90^\circ$ (угол квадрата). Так все углы M равны $90^\circ$. Сумма углов выпуклого $n$-угольника равна $180^\circ(n-2)$, а по условию она равна $90^\circ n$. Решая $180(n-2)=90n$, получаем $n=4$. Значит M — четырёхугольник с прямыми углами, то есть прямоугольник, и число сторон равно 4 — это максимум (и единственно возможное значение).

в) Пусть стороны прямоугольника $a,b$ — целые, $ab=1292$, периметр $P=2(a+b)$. При фиксированном произведении сумма $a+b$ растёт с ростом разности $|a-b|$ (это доказывается через сравнение квадратов суммы: если $ab=cd$ и $|a-b|<|c-d|$, то $(a+b)^2>(c+d)^2$... на самом деле обратное — чем меньше разность, тем меньше сумма). Поэтому наибольшая сумма достигается при максимальной разности — крайние делители $a=1292,\ b=1$, отсюда $P_{max}=2\cdot1293=2586$. Наименьшая сумма — при делителях, ближайших к $\sqrt{1292}\approx35.9$: это $34$ и $38$, тогда $P_{min}=2\cdot72=144$.