Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Нужно подобрать четвёрку чисел так, чтобы сумма результатов деления дала 386. Возьмём числа 109, 110, 111, 112. Делим каждое на ненулевую цифру из его записи: $\frac{109}{1}+\frac{110}{1}+\frac{111}{1}+\frac{112}{2}=109+110+111+56=386$. Пример найден — ответ «да».

б) Представим $9,125=\frac{73}{8}$. Знаменатель 8 — значит, чтобы получить восьмые доли, хотя бы одно из чисел нужно делить на цифру 8, а это возможно только если само число нечётное (иначе результат — целое или с другим знаменателем). Наименьшее натуральное число с цифрой 8, дающее нецелый результат при делении на 8, — это 81: $\frac{81}{8}=10,125$. Уже одно это слагаемое больше искомой суммы 9,125, а остальные три слагаемых только увеличат сумму (они положительны). Значит, сумма всегда будет больше 9,125, и равенство невозможно.

в) Обозначим сумму $S$. Если хотя бы одно из четырёх чисел делится на цифру $\ge2$, то соответствующее слагаемое не превышает $\frac{699}{2}$, а остальные — не больше 699 каждое (числа не превышают 699). Тогда $S<699+699+699+\frac{699}{2}=2446,5$. Значит, для максимума нужно делить все числа на цифру 1, то есть каждое из чисел должно содержать в записи единицу. Среди чисел от 200 до 699 наибольшая такая четвёрка последовательных чисел — 616, 617, 618, 619 (все содержат цифру 1). Тогда $S=\frac{616}{1}+\frac{617}{1}+\frac{618}{1}+\frac{619}{1}=2470$. Так как $2470>2446,5$, а других вариантов с делением на 1 больше нет, это и есть максимум.