Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём числа 89, 90, 91, 92. Их первые цифры — 8,9,9,9. Считаем сумму: $$\frac{89}{8}+\frac{90}{9}+\frac{91}{9}+\frac{92}{9}=11\frac18+10+10\frac19+10\frac29=41\frac18+\frac13=41\frac{11}{24}.$$ Значит, такое S возможно.

б) Если число имеет $n$ цифр, то деление на первую цифру даёт число от $10^{n-1}$ до $10^n$, поэтому среди наших чисел не может быть четырёхзначных (иначе сумма слишком велика), но обязательно есть трёхзначные. Знаменатель $72=8\cdot9$ появляется только если среди первых цифр есть и 8, и 9 — а такое возможно лишь у чисел, соседних с переходом через сотню, то есть у 899 и 900. Тогда максимум суммы для четвёрки, содержащей эти числа, равен $$\frac{897}{8}+\frac{898}{8}+\frac{899}{8}+\frac{900}{9}=112\frac18+112\frac28+112\frac38+100=324\frac68<569\frac{29}{72}.$$ То есть требуемая сумма недостижима.

в) Если все четыре числа начинаются одной цифрой $x$, то $S=\dfrac{4n+6}{x}$, где $n$ — наименьшее из чисел; при $x=4$ это нецелое. Числитель не больше $400x+390$, значит $$S\le 400+\frac{390}{x}\le 400+\frac{390}{5}=478,$$ достигается при $x=5$: числа 596,597,598,599 дают ровно 478. Если первые цифры разные, одно число кратно 100, его результат равен 100, а остальные не превышают $100+\dfrac{99}{4}<125$, так что сумма меньше $475<478$. Значит, максимум — 478.