Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Возьмём четыре подряд идущих числа 12,13,14,15. Тогда $\frac{12}{2}+\frac{13}{3}+\frac{14}{4}+\frac{15}{5}=6+4\frac13+3\frac12+3=16\frac56$. Значит такое значение возможно.

б) Число $126=9\cdot14$, поэтому среди слагаемых обязана быть дробь со знаменателем 9 — значит последняя цифра одного из чисел 9, а значит цифры четырёх чисел — 6,7,8,9. Пусть числа $10x+6,10x+7,10x+8,10x+9$. Тогда $$S=\frac{10x+6}{6}+\frac{10x+7}{7}+\frac{10x+8}{8}+\frac{10x+9}{9}=4+10x\left(\frac16+\frac17+\frac18+\frac19\right)=4+\frac{275x}{252}.$$ Приравнивая к $369\frac{29}{126}$, получаем $x=\frac{92038}{1375}\notin\mathbb Z$ — значит такое S невозможно.

в) Чтобы сумма была максимальной, выгодно иметь среди четырёх чисел то, что оканчивается на 1 (оно делится само на себя без потерь). Берём последние цифры 1,2,3,4: числа $10x+1,\dots,10x+4$. Тогда $$S=(10x+1)+\left(5x+1\right)+\left(3x+1+\frac x3\right)+\left(2x+1+\frac x2\right)=20x+4+\frac{5x}{6}.$$ Для целого S нужно $x$, кратное 6, а так как числа трёхзначные, $x\le 99$. Наибольшее такое $x=96$, откуда $$S=20\cdot96+4+96\cdot\frac56=1920+4+80=2004.$$ Если же последние цифры другие, все знаменатели не меньше 2, и каждое слагаемое не превышает $999/2<500$, значит сумма меньше $4\cdot500=2000<2004$. Следовательно, максимум достигается именно при цифрах 1,2,3,4 и равен 2004.