Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Заметим общий приём: разложим $a^2-b^2+c^2-d^2-(a+b+c+d)$ на множители, используя $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$: $$(a-b)(a+b)+(c-d)(c+d)-(a+b+c+d)=(a-b-1)(a+b)+(c-d-1)(c+d).$$

а) По условию это выражение равно $27-15=12$: $(a-b-1)(a+b)+(c-d-1)(c+d)=12$. Так как $a>b,c>d$ — натуральные, то $a-b-1\ge0$ и $c-d-1\ge0$. Если оба множителя $\ge1$, сумма была бы $\ge a+b+c+d=15>12$ — противоречие. Значит, один из них равен $0$: либо $a=b+1$, либо $c=d+1$. Если $a=b+1$: $(c-d-1)(c+d)=12$, но $c+d<a+b+c+d/2\approx7{,}5$, а числа $c+d$ и $c-d-1$ разной чётности — подходящей пары множителей нет (проверка даёт $d=0$, что запрещено). Если $c=d+1$: $(a-b-1)(a+b)=12$, $a+b>7{,}5$, разной чётности с $a-b-1$ — подходит $a+b=12,\ a-b=2\Rightarrow a=7,b=5$. Тогда $c+d=15-12=3$, $c=d+1\Rightarrow d=1,c=2$. Проверка $7>5>2>1$ верна.

б) Аналогично: $(a-b-1)(a+b)+(c-d-1)(c+d)=0$. Оба слагаемых неотрицательны (так как $a+b>0,c+d>0$), значит каждое равно нулю: $a=b+1,\ c=d+1$. Тогда $a+b+c+d=2b+2d+2$ — чётное число, а $19$ нечётно. Такое невозможно.

в) Из равенства следует то же самое: $a=b+1,\ c=d+1$. Подставляя, $a+c=501\Rightarrow c=501-a,\ b=a-1,\ d=500-a$. Условия $a>b>c>d>0$ дают: $b>c\Rightarrow a>251$; $d>0\Rightarrow a<500$. Итого $a\in\{252,253,\dots,499\}$ — всего $499-252+1=248$ значений.