Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Вычтем из второго равенства первое: $a^2-b^2+c^2-d^2-(a+b+c+d)=4$. Группируя, получаем $(a-b)(a+b)-(a+b)+(c-d)(c+d)-(c+d)=4$, то есть $(a+b)(a-b-1)+(c+d)(c-d-1)=4$.

Так как $a>b$ и $c>d$, оба множителя $a-b-1$ и $c-d-1$ — целые неотрицательные числа, а $a+b>0$, $c+d>0$. Раз сумма чисел $a+b+c+d=15>4$, оба слагаемых не могут быть положительными одновременно — иначе сумма бы превысила 4. Значит одно из выражений $a-b-1$ или $c-d-1$ равно нулю.

Если $a=b+1$: тогда $(c+d)(c-d-1)=4$, и подходит $c+d=4$, $c-d=2$, откуда $c=3,d=1$. Тогда $a+b=11$, $a=b+1\Rightarrow b=5,a=6$.

Случай $c=d+1$ невозможен: тогда $(a+b)(a-b-1)=4$, но $a+b\ge 8>4$, значит равенство не выполняется при целых $a-b-1\ge0$.

Ответ: $a=6,\,b=5,\,c=3,\,d=1$.

б) Теперь разность сумм равна нулю: $(a+b)(a-b-1)+(c+d)(c-d-1)=0$. Оба слагаемых неотрицательны, значит каждое равно нулю: $a=b+1$, $c=d+1$. Тогда $a+b+c+d=2b+2d+2$ — чётное число, а по условию оно равно 23 (нечётное). Противоречие, значит такие числа не существуют.

в) Аналогично из равенства сумм получаем $a=b+1$, $c=d+1$. Подставляя в $a+b+c+d=1200$: $2a+2d=1200\Rightarrow a+d=600\Rightarrow d=600-a$, $c=601-a$, $b=a-1$.

Условие $a>b>c>d$ даёт: $b>c\Rightarrow a-1>601-a\Rightarrow a>301$; $d>0\Rightarrow a<600$. Значит $a$ — целое число из интервала $(301;600)$, то есть от 302 до 599. Количество таких значений: $599-302+1=298$.