Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Общая идея. Число $k\le n$ дружественно с $n$, если $\gcd(n,k)>1$, то есть $k$ имеет с $n$ общий простой делитель. Заметим сразу, что $n$ дружественно самому себе, так как $\gcd(n,n)=n>1$ — это важно учитывать во всех пунктах.

а) $2022=2\cdot3\cdot337$. Дружественными с 2022 являются числа, кратные 2, 3 или 337. По формуле включения‑исключения на отрезке $[1;2022]$: $$\left\lfloor\frac{2022}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2022}{3}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2022}{337}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2022}{6}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2022}{674}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{2022}{1011}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2022}{2022}\right\rfloor$$ $$=1011+674+6-337-3-2+1=1350.$$

б) Если $n$ простое, то единственное $k\le n$ с $\gcd(n,k)>1$ — это $k=n$, значит $a_n=1$. Если $n=pk$, где $p\ge3$ — простой делитель, $k>1$, то числа $k,2k,3k\le pk=n$ дают $\gcd(n,jk)=k\cdot\gcd(p,j)\ge k>1$, то есть уже три дружественных числа: $a_n\ge3$. Остаётся случай $n=2^m$: тогда дружественны ровно все чётные числа до $n$, их $\dfrac{n}{2}=2^{m-1}$. Уравнение $2^{m-1}=2$ даёт $m=2$, то есть $n=4$.

в) Условие означает, что множество дружественных чисел совпадает с множеством делителей $n$, больших 1. Если $n=pk$ ($p$ — простой делитель, $k>1$), то $n-p=p(k-1)$ тоже дружественно с $n$ (так как $\gcd(pk,p(k-1))=p\cdot\gcd(k,k-1)=p>1$), значит $p(k-1)$ должно быть делителем $n=pk$, то есть $k-1\mid k$, откуда $k-1=1$, $k=2$. Это должно выполняться для каждого простого делителя $n$; если бы у $n$ было два разных простых делителя, применение условия к каждому из них давало бы разные равенства $n=2p$ и $n=2q$, что невозможно при $p\ne q$. Значит $n$ имеет один простой делитель, и он равен 2, а $k=2$, то есть $n=4$. Простые числа также подходят: их единственный делитель больше 1 — само число, и оно единственное дружественное. Итог: подходят все простые числа и $n=4$.