Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

а) Заметим тождество $m\otimes n+1=mn+m+n+1=(m+1)(n+1)$. Значит, число $n$ раскладывается в квазипроизведение двух меньших чисел ровно тогда, когда $n+1$ можно разложить в произведение двух множителей $\ge2$, т.е. когда $n+1$ составное. Поэтому простое $p$ квазипростое $\iff p+1$ простое. Но из двух соседних чисел $p,\,p+1$ одно чётно, а единственное чётное простое — 2. Значит подходит только пара $2,3$, то есть $p=2$.

б) Из $2\otimes m=3m+2$ видно, что квазичётные числа — это в точности числа, дающие остаток 2 при делении на 3. При сложении и умножении остатков от деления на 3:

• для двух чисел: $2\cdot2=4\equiv1$ и $2+2=4\equiv1$ — остаток не 2, значит сумма/произведение не квазичётны — нет;
• для трёх чисел произведение остатков $2^3=8\equiv2$ — квазичётно, значит для трёх чисел ответ да;
• для четырёх чисел $2^4=16\equiv1$ — снова не квазичётно, ответ нет.

в) Квазиквадрат числа $x$ равен $x\otimes x=x^2+2x=x(x+2)$. Пусть у равнобедренного треугольника боковые стороны равны $x$, основание $y$. Условие теоремы Квазипифагора: $$2x(x+2)=y(y+2).$$ Чем меньше $x$, тем меньше должно быть и $y$, поэтому минимальный периметр достигается при наименьшем подходящем $x$. Проверка малых $x=1,2,3$ не даёт целого $y$. При $x=4$: $2\cdot4\cdot6=48$, и $y(y+2)=48$ даёт $y=6$ (так как $6\cdot8=48$). Треугольник со сторонами $4,4,6$ существует (неравенство треугольника выполняется) и имеет периметр $4+4+6=14$.