Задание 19 ЕГЭ, математика (профиль): Числа и их свойства

Заметим, что переход $a_{n+1}=10a_n+1$ — это просто дописывание цифры 1 в конец числа. Значит $a_1=1,\ a_2=11,\ a_3=111,\dots$, то есть $a_n$ состоит из $n$ единиц.

а) $a_{2022}$ — число из 2022 единиц. Сумма его цифр $=2022$, кратна 3, значит $a_{2022}\vdots 3$. Сумма цифр на чётных и нечётных местах равны по 1011, разность 0, значит $a_{2022}\vdots 11$. Поскольку $\gcd(3,11)=1$, число делится на $33$.

б) При $n>1$ можно записать $a_n=100y+11$, где $y$ — число из $(n-2)$ единиц. Значит $a_n$ даёт остаток 3 при делении на 4. Проверим, может ли квадрат числа давать остаток 3 при делении на 4: если $y$ чётно, $y^2\equiv0$; если нечётно, $y^2-1=(y-1)(y+1)$ — произведение двух последовательных чётных чисел, делится на 4, значит $y^2\equiv1\pmod4$. Остаток 3 невозможен, значит $a_n$ не может быть точным квадратом.

в) Заметим, что $111111=7\cdot15873$, то есть блок из 6 единиц не меняет остаток по модулю 7. Поэтому достаточно найти остатки для $a_1,\dots,a_6$: $1\equiv1$, $11\equiv4$, $111\equiv6$, $1111\equiv5$, $11111\equiv2$, $111111\equiv0$. Все остальные $a_n$ дают те же остатки, повторяя цикл длины 6. Остаток $3$ среди них не встречается, значит возможные остатки — $0,1,2,4,5,6$.